Una introducción a los modelos mínimos de Sullivan.

Ponente(s): Jaime Alejandro García Villeda, Dr. Omar Antolín Camarena

La homotopía racional tiene su origen en los años 60's con los trabajos de D. Quillen y D. Sullivan. Dichos trabajos parten del hecho existe un álgebra diferencial graduada conmutativa (cdga por sus siglas en inglés), que se define usando formas diferenciales polinomiales racionales sobre un espacio topológico $X$, la que se denotará por $A_{PL}(X)$, y que tiene la propiedad de que $H^*(A_{PL}(X))\cong H^*(X;\mathbb{Q})$, resultado que de hecho es un claro análogo del teorema de De Rham para variedades suaves sin frontera. Sin embargo, uno de los problemas asociados a $A_{PL}(X)$ es que esta álgebra es ``muy grande'', así que tanto Quillen como Sullivan encuentran modelos de cdga's que tengan la misma información cohomológica con coeficientes racionales que dicha álgebra pero con una ventaja: estas son más manejables en los cálculos. Así, un modelo mínimo de Sullivan es una de tales cdga's que como su nombre lo dice satisface una condición de minimalidad pues en general existen muchas formas de construir modelos que satisfagan la propiedad que se quiere. La presente charla pretende mostrar la definición y algunas propiedades de los módelos mínimos de Sullivan para espacios simplemente conexos, así como la discusión de estos para el caso de esferas y de espacios proyectivos complejos. También se discutirá la relación de estos con la homotopía racional y cómo es que para el caso de las esferas dichos modelos permiten probar uno de los famosos resultados relativos a los grupos de homotopía de las esferas, debido a Serre, que afirma que para cada $n\in\mathbb{N}^+$, $rango(\pi_n(S^n))=rango(\pi_{4n-1}(S^{2n}))=1$.