Operadores de transmutación y sistemas completos de soluciones para la ecuación de Schrödinger radial

Autor: Víctor Alfonso Vicente Benítez
Coautor(es): Vladislav V. Kravchenko
El propósito de esta plática es presentar algunas representaciones analíticas en el disco unitario $\mathbb{D}\subset \mathbb{C}$, de las soluciones de la ecuación de Schrödinger radial \begin{equation}\label{schrodinger} \left(\bigtriangleup -q(|z|) \right)u(z)=0 \quad \mbox{ para }\quad z\in \mathbb{D}, \end{equation} donde $q$ es una función continua que sólo depende de la componente radial $r=|z|$. Tales representaciones se basan en el hecho de que toda solución de (\ref{schrodinger}) se puede construir en la forma \begin{equation}\label{operador} u(z)=Th(z)=h(z)+\int_{0}^{1}\sigma G(r,1-\sigma^2)h(\sigma^2z)d\sigma, \end{equation} donde $h$ es una función armónica en $\mathbb{D}$ y $G$ es una función de clase $C^2$ en el cuadrado unitario $I^2=[0,1]^2$ (véase \cite{begehr}, capítulo 4) . El operator integral $T$ se conoce como {\bf operador de transmutación}, y se mostrará que es continuo e invertible, tanto en la topología de $C(\mathbb{D})$, como en el espacio $L_2(\mathbb{D})$. A partir de la representación (\ref{operador}) obtenemos un sistema completo de soluciones $\{\mathcal{ V}_n(z)\}_{n\in \mathbb{Z}}$, las cuales son ortogonales en $L_2(\mathbb{D})$, y probaremos que cualquier solución $u\in C^2(\mathbb{D})$ de (\ref{schrodinger}) puede escribirse como una serie de la forma \begin{equation}\label{serie} u(z)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}\hat{u}_n \mathcal{V}_n(z), \end{equation} la cual converge absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb{D}$. Más aún, si $u\in L_2(\mathbb{D})$, entonces la serie converge en la norma de $L_2(\mathbb{D})$. Finalmente, discutiremos la construcción explícita del sistema de soluciones $\{\mathcal{ V}_n(z)\}_{n\in \mathbb{Z}}$, y su aplicación en la aproximación de las soluciónes del problema de Dirichlet. \begin{thebibliography}{10} \bibitem{begehr} \textsc{H. Begehr, R. P. Gilbert}, \textit{Transformations, transmutations, and kernel functions, Vol. 1}, Longman Scientific \& Technical, Harlow, 1992. \end{thebibliography}