Las álgebras de medida y categoría

Autor: Francisco Santiago Nieto de la Rosa
A pesar de que la teoría de conjuntos parece estar alejada del resto de la matemática, eso no es así. Tal es el caso de la teoría descriptiva de conjuntos. En particular, podemos analizar un espacio topológico, decimos que un conjunto es denso en ninguna parte cuando el interior de su cerradura es vacío, así mismo, llamamos magro a un conjunto que se puede descomponer como una cantidad numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Por otro lado, una medida es una función que va de una sigma-álgebra de la potencia de un conjunto al intervalo [0,oo] tal que al vacío le asigna 0 y es numerablemente aditiva. Denominamos como nulos a los conjuntos a los que la medida les asigna el valor 0. Resulta que en el espacio de funciones que van de los números naturales en {0,1} podemos asignar una topología y una medida conveniente que nos permite asegurar que tanto los conjuntos magros como los nulos en dicho espacio forman un sigma-ideal en el álgebra de Borel correspondiente. Esto es suficiente para construir dos álgebras de Boole a las que llamamos álgebra de categoría (C) y álgebra de medida (M). Regresando a la teoría de conjuntos, mostramos que ambas álgebras generan extensiones genéricas que conservan cierta dualidad; pues resulta que al forzar con M, los números reales del modelo base son un conjunto magro de los números reales de la extensión. Si bien forzamos con C, los reales del modelo base son un conjunto nulo de los reales de la extensión bajo la medida de Lebesgue.