De qué trata la Geometría Algebraica?

Autor: Xavier Gómez-Mont Ávalos
Los objetos geométricos de la Geometría Algebraica son los subconjuntos V definidos por varias ecuaciones polinomiales F1(x1,…,xn)=….=Fr(x_1,…,xn)=0. El material con el que están constituidos depende de que representan las variables x1,…,xn. En primera instancia pueden ser los números reales, y posteriormente los números racionales, o los números complejos, o el campo de funciones racionales en otras variable, y otro anillo. Pero, que propiedades de V no dependen de cual es este material. Si organizamos estos posibles materiales por contención (i.e. Q en R en C en …) obtenemos aplicaciones entre todas estas realizaciones. La parte algebraica de la Geometría Algebraica trata de dar métodos algebraicos trabajando a partir de los polinomios F1,…Fr para poner en evidencia la naturaleza de V. Por ejemplo su dimensión, o cuantas componentes irreducibles tiene, o si es singular o no singular, cuáles son sus invariantes ‘topológicos´, etc. Voy a ejemplificar esto con un caso que me apasiona, y que fue descubierto por F. Hirzebruch en 1950. Compactificando las variables para estar en el espacio proyectivo sobre los números complejos P^n, considerando solo 1 polinomio (homogéneo) de grado d y suponiendo que V es no singular, entonces los invariantes topológicos de V no dependen de la ecuación F, solo dependen de n y de d. Estos invariantes topológicos non miden cuantas cinturas de dimensión j tiene V y se llaman los números de Beti. Puede uno ser más preciso, y descomponer estos números en unos números que se llaman los números de Hodge. La pregunta es cuánto valen los números de Hodge de V expresados en términos solo de n y d. La sorpresa es que podemos escribir una función racional (con una expresión sencilla explícita) que depende de n y d que tiene coeficientes racionales, de tal forma que su expansión en serie de Taylor alrededor del 0 nos da estos invariantes. Es decir, en una expresión sencilla hemos concentrado esta infinidad de información. Este ejemplo da idea de los hermosa y profunda que es la Geometría Algebraica, y esto es solo el comienzo…