TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ EN Cc(R^n,R^m)
Ponente(s): Rafael Correa Morales
En el estudio del análisis funcional, el problema de representar funcionales es básico, pues
resulta conveniente trabajar con funcionales que tengan una 'forma' más simple de estudiar.
Por ejemplo en el análisis del funcional \varphi(f) := \int fdµ podemos hacer uso de las herramientas
disponibles en las teorías de integración y medida.
El objetivo esencial de este trabajo es demostrar que a partir de un funcional lineal
que cumple con una condición de acotamiento, existe una medida de
Radón µ y una función µ-medible σ tales que ’ se puede representar en términos de µ y σ.
El teorema de representación de Riesz más socorrido para dar una solución parcial a lo
planteado con anterioridad, es el que parte de un espacio topológico Hausdor localmente
compacto X y un funcional lineal positivo. Entonces, se obtiene una única
medida de Radón µ en X tal que \varphi(f) = \int_{X} fdµ.
El inconveniente del resultado anterior es que son relativamente pocos los funcionales de ese
tipo, ya que la condición de positividad hace difícil la posible aplicación.
El escrito se estructura tomando como guía el texto 'Measure theory and one properties of
functions' de Evans-Gariepy, sin embargo no se limita a reproducir dicho texto. Se agregan los
resultados necesarios para facilitar la comprensión de lo que se abarca, así como el desarrollo
de ejemplos y herramientas los cuales serán útiles e ilustrativos para los fines que queremos
alcanzar. Pese a que existe una vasta gama de conceptos que se pueden utilizar para la demostración
del teorema de representación de Riesz en Cc(Rn, Rm), se optó por desarrollar y emplear
el menor numero de ellos que, a nuestra consideración, son necesarios.