TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE RIESZ EN Cc(R^n,R^m)

Autor: Rafael Correa Morales
En el estudio del análisis funcional, el problema de representar funcionales es básico, pues resulta conveniente trabajar con funcionales que tengan una 'forma' más simple de estudiar. Por ejemplo en el análisis del funcional \varphi(f) := \int fdµ podemos hacer uso de las herramientas disponibles en las teorías de integración y medida. El objetivo esencial de este trabajo es demostrar que a partir de un funcional lineal que cumple con una condición de acotamiento, existe una medida de Radón µ y una función µ-medible σ tales que ’ se puede representar en términos de µ y σ. El teorema de representación de Riesz más socorrido para dar una solución parcial a lo planteado con anterioridad, es el que parte de un espacio topológico Hausdor localmente compacto X y un funcional lineal positivo. Entonces, se obtiene una única medida de Radón µ en X tal que \varphi(f) = \int_{X} fdµ. El inconveniente del resultado anterior es que son relativamente pocos los funcionales de ese tipo, ya que la condición de positividad hace difícil la posible aplicación. El escrito se estructura tomando como guía el texto 'Measure theory and one properties of functions' de Evans-Gariepy, sin embargo no se limita a reproducir dicho texto. Se agregan los resultados necesarios para facilitar la comprensión de lo que se abarca, así como el desarrollo de ejemplos y herramientas los cuales serán útiles e ilustrativos para los fines que queremos alcanzar. Pese a que existe una vasta gama de conceptos que se pueden utilizar para la demostración del teorema de representación de Riesz en Cc(Rn, Rm), se optó por desarrollar y emplear el menor numero de ellos que, a nuestra consideración, son necesarios.