Descomposición de medidas y la equivalencia de los teoremas de representación de Riesz y de Radon-Nikodym

Autor: Francisco Alejandro Villegas Acuña
Si f es una función medible no negativa definida en un espacio de medida (X, S, μ), es posible definir una nueva medida en (X, S) mediante la integral de la función no negativa con respecto a μ. El teorema de Radon-Nikodym es en cierta forma un resultado recíproco al enunciado anterior y establece condiciones bajo las cuales, dadas dos medidas ν, μ definidas en (X, S), es posible representar ν como la integral de una función f medible no negativa definida en (X, S, μ). Este resultado lo demostró Johann Radon para el caso X = Rn en 1913 y en 1930 Otto M. Nikodym lo extendió al caso de espacios de medida generales. Por otra parte, un resultado básico del análisis funcional es el teorema de representación de Riesz en Lp el cual establece un isomorfismo isométrico entre el espacio de las funcionales lineales continuas en Lp (espacio dual topológico de Lp) con el espacio Lq donde q es el ́índice conjugado de p. Este teorema lo demostró Frigyes Riesz en 1910. En la presentación pretendo señalar que el teorema de representación de Riesz en L2 y el teo- rema de Radon-Nikodym son equivalentes en el siguiente sentido: partiendo de uno de los dos teoremas, es posible llegar a una demostración del otro teorema, utilizando herra- mientas básicas de teoría de la medida y el análisis funcional.