Una generalización del Producto vectorial

Autor: Fernando Baldemar Uribe Gonzalez
En mi proyecto de titulación propongo una generalización del producto vectorial como sigue: Definiendo una recta L, en el espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo de los números reales, con n mayor o igual a 2, como el conjunto de puntos a los que se puede llegar desde un punto P dado a través de la elongación de un vector directriz, estiramiento que es posible mediante un factor de expansión o parámetro de la recta. En el mismo sentido se define un subespacio (subespacio afín) vectorial S de dimensión n-2, el cual parte de un punto Q y que tiene n-2 vectores directrices e igual número de factores de expansión. Entonces se prueba la siguiente proposición: existe la intersección de los subespacios si y sólo si existe al menos una de las intersecciones de los subespacios proyectados sobre los hiperplanos canónicos y estos coinciden en sus factores de expansión, siempre que los vectores directrices de los subespacios sean linealmente independientes, las intersecciones son no vacías. si P y Q son iguales o si son, ambos, linealmente dependientes de los vectores directrices de sus respectivos subespacios, se esta ante soluciones triviales donde la intersección es el punto P o el origen en el espacio vectorial en cada caso. Una condición suficiente para que exista la intersección es que sea cero el producto interior de la diferencia de los puntos P y Q con un vector cuyas entradas son los determinantes de los subsistemas asociados a las proyecciones de la intersección de los subespacios. Entonces el segundo vector define el producto vectorial de n-1 vectores en la dimensión n sobre el campo de los números reales. Hago la demostración mediante inducción matemática con n mayor o igual a 3. La demostración también incluye demostrar la existencia del triple producto escalar y su propiedad lo que implica que se define un determinante de orden n a partir del producto vectorial en la dimensión n-1 y no en el sentido inverso como en otros textos. Aplicar esta proposición en la resolución de sistemas de ecuaciones de nxn de rango completo lleva a que se puede encontrar cualquiera de las incógnitas, parámetros o factores de expansión, con la regla de Cramer y el producto vectorial. Lo que permite reducir el sistema de ecuaciones, mediante la proyección de la suma vectorial a alguno de los hiperplanos canónicos (suma de la que se excluyó la incógnita), a uno de n-1 incógnitas. Se puede repetir este proceso hasta encontrar todas las soluciones. Como ejemplo sencillo se encuentran los sistemas de ecuaciones cuya matriz asociada es tridiagonal, de amplio uso en la discretización de ecuaciones diferenciales. En el futuro, creo que la interpretación geométrica para vectores propios será fructífera, además de para todo problema que incluya matrices cuadradas. Gracias.