Familias especiales de funciones analíticas: comportamiento y multiplicadores

Ponente(s): Alejandra Morales Orduño, Martha Guzmán Partida

Al estudiar análisis funcional, nos damos cuenta que uno de los temas más importantes en esta área es el estudio de los espacios de Banach, tales como el espacio de sucesiones $\ell^p$, cuyo descubrimiento se le atribuye a F. Riesz en la primera mitad del siglo $XX$. Particularmente sabemos que el espacio $\ell^2$ cumple con propiedades que no se tienen en general para $\ell^p$ con $p\neq2$, tales como la existencia de un producto interior que lo convierte en espacio de Hilbert. Justo en esta área de las matemáticas existe un problema que sigue parcialmente sin resolver, el conocido "problema del subespacio invariante", el cual cuestiona si todo operador acotado en un espacio de Banach complejo envía subespacios cerrados no triviales en sí mismos. Este problema en espacios de Banach fue resuelto por Per Enflo en 1975, construyendo un operador que no poseía subespacios invariantes. Sin embargo, el problema permanece abierto en el caso de espacios de Hilbert. Uno de los primeros operadores en $\ell^2$ en tener caracterizados sus subespacios invariantes fue el operador de desplazamiento a la derecha $S$. Esto fue posible mediante el Teorema de Beurling, interpretando a $\ell^2$ como espacio funcional de Hilbert $H^2$, el llamado espacio de Hardy. El objetivo principal de esta tesis es desarrollar algunos de los resultados mas destacables en el espacio $\ell^p_A$ de funciones analíticas (en el disco unitario) cuyos coeficientes de Taylor pertenecen al espacio de sucesiones $\ell^p$. Especialmente trabajamos con las propiedades que cumplen sus multiplicadores, así como la utilidad que tiene la noción de ortogonalidad de Birkhoff-James en estos espacios, como herramienta para la estimación de ceros de funciones analíticas, tomando como referencia el trabajo de Cheng et al.