Fórmula de Szego–Widom para matrices de Toeplitz de banda

Autor: Mario Alberto Moctezuma Salazar
Coautor(es): Egor Maximenko
Las matrices de Toeplitz han sido estudiadas por mas de 100 años. Entre estos estudios, un resultado conocido es la fórmula de Szego–Widom (1976): si a es una función definida en la circunferencia unitaria y suficientemente suave, entonces las trazas generalizadas de las matrices de Toeplitz Tn(a) admiten la siguiente expansión asintótica: tr(f(Tn(a))) =nG(a,f) + E(a,f) + R(a,f)(n), donde f es una función holomorfa en un dominio simplemente conexo que contiene la imagen de a, G(a,f) y E(a,f) son ciertos coeficientes constantes y R(a,f)(n) es un término residuo que tiende a cero cuando n tiende a infinito. Más aún, en las últimas décadas varios investigadores (Böttcher, Silbermann,Simonenko, Vasiliev, Maximenko, A. Karlovich) mostraron que si a es suficiente mente suave (digamos, m+1 veces continuamente derivable), entonces el término residuo tiende a cero de manera potencial, es decir, R(a,f)(n) =O(n−m). En este trabajo mostramos que si a es un polinomio de Laurent, entonces R(a,f)(n) decae de manera exponencial. Más aún, para la función de prueba g(z) = 1/z expresamos los coeficientes de manera explícita en términos de las raíces de a. El trabajoha sido parcialmente apoyado por el proyecto IPN-SIP 20190161