Elementos finitos para la ecuación de Stokes

Autor: Andreas Wachtel .
Coautor(es): Gabriel R. Barrenechea
Las ecuaciones de Navier-Stokes y su simplificación, la ecuación de Stokes, relacionan la velocidad de un líquido y su presión en 2 y 3 dimensiones. Dichas ecuaciones tienen una solución, ya que se cumple la condición inf-sup, en ciertos espacios de funciones de dimensión infinita. Los elementos finitos se utilizan para obtener soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales. Esto se hace construyendo un sistema lineal cuya solución son los coeficientes de una solución numérica. Para usar elementos finitos se escogen sub-espacios discretos (de dimensión finita), uno para la velocidad, y uno para la presión. Dichos sub-espacios deben satisfacer una condición inf-sup, similar a la de los espacios originales. Esto impone restricciones, tanto a los sub-espacios discretos, como a las mallas usadas. Para mallas isotrópicas (por ejemplo, de triángulos cuyo angulo mínimo es acotado) existen muchos espacios discretos. En mallas anisotrópicas, con elementos delgados o de longitudes que cambian rápidamente, el numero de espacios discretos que satisfagan la condición inf-sup es mucho menor. En particular, durante varios años, para los espacios de Taylor y Hood (Q2 x Q1 y P2 x P1) solo había evidencia numérica positiva para algunas mallas. En esta platica daré una pequeña introducción al concepto de elementos finitos, y mostrare hipótesis suficientes y necesarias bajo cuales los espacios Q2 x Q1 y P2 x P1 satisfacen una condición inf-sup independientemente de la anisotropía de ciertas mallas.