Distorsión de Área hiperbólica bajo mapeos casiconformes

Autor: Lino Feliciano Reséndis Ocampo
Coautor(es): Alfonso Hernández Montes
\centerline{Distorsi\'on del \'area hip\'erbolica bajo mapeos casiconformes} En 2012 Min Chen and Xingdi Chen \cite{art1} estudiaron la clase de mapeos $K$ casiconformes del semiplano superior $\mathbb{H}$ sobre si mismo y obtuvieron algunos resultados acerca de la distorsi\'on de \'area bajo mapeos arm\'onicos casiconformes. \par\noindent En esta pl\'atica se estudia la distorsi\'on de \'area tanto Euclidiana como hiperb\'olica de conjuntos medibles bajo ciertas clases de mapeos $K$ casiconformes del plano superior y del disco unitario en si mismos, respectivamente. En particular se obtiene el el siguiente resultado \\ {\bf Theorem} \cite{art2}\emph{ Sea $f$ un mapeo $K$-casiconforme de $\mathbb{H}$ sobre si mismo tal que $f$ mapea una familia de horociclos con un punto tangente en com\'un sobre una familia de horociclos. Entonces para cada conjunto medible $E\subset\mathbb{H}$ las siguientes desigualdades se cumplen \[ \dfrac{1}{K^9} A_\mathcal{H}(E)\leq A_\mathcal{H}(f(E))\leq K^9 A_\mathcal{H}(E). \] donde $A_\mathcal{H}(\cdot)$ denota el \'area hiperb\'olica en el semiplano $\mathbb{H}$. Estas cotas son asint\'oticamente \'optimas cuando $K\to 1^+$. } \bigskip \begin{thebibliography}{99} \small \bibitem[1]{art1} M. Chen, X. Chen, \textit{$(K,K')$-quasiconformal harmonic mappings of the upper half plane onto itself}, Ann. Aca. Scien. Fen, 2012, pp. 265-276. \bibitem[2]{art2} A. Hern\'andez Montes, Lino F. Res\'endis O., \textit{Area Distortion under certain classes of quasiconformal functions}, Journal of Inequalities and applications, 2017, DOI: 10.1186/s13660-017-1481-1 \end{thebibliography}