Integración impropia en espacios de medida topológica sigma-finita

Autor: Diego Francisco Alcaraz Ubach
Coautor(es): Miguel Ángel Jiménez Pozo
Los métodos impropios de sumación o integración son, y por mucho tiempo han sido, una necesidad de los matemáticos. Por ejemplo, se sabe que aun con la riqueza de la Teoría de Integración de Lebesgue, no se llega a una versión satisfactoria del Teorema Fundamental del Cálculo para funciones reales definidas en intervalos acotados: hay funciones derivables en todo punto de su dominio cuya derivada no es Lebesgue integrable. Sin embargo, a partir de los métodos impropios de integración desarrollados por Denjoy en 1912, Perron en 1914, y por Henstock y Kurzweil alrededor de 1960, cualquier función derivable se puede recuperar a partir de su derivada [1]. Estos métodos se apoyan fundamentalmente en propiedades específicas de los espacios euclidianos, por lo que resulta difícil su extensión al caso de espacios de medida topológica generales, en los cuales carece de sentido la noción usual de derivada. Para lidiar con esta situación, Jiménez introduce en [2] una definición de integral impropia en espacios compactos de medida topológica finita, con la cual se obtienen algunas de las propiedades básicas de la integración. En el presente trabajo se extiende dicha definición al caso general de espacios localmente compactos y de medida sigma-finita. [1] Gordon, R.A., The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, volume 4, AMS, 1994. [2] Jiménez Pozo, M.A., Improper integrals in topological finite measure spaces, Preprint FCFM-BUAP, 2018.