Homología de cadenas invariantes en Q-representaciones por permutaciones

Autor: Jose Martín Mijangos Tovar
Dado un grupo $G$, un $G$-conjunto $X$ y un $G$-módulo $A$ uno puede definir los grupos de homología $H_*(G, X;A)$ de la representación por permutaciones $(G, X)$. Esta teoría es una generalización de la teoría usual de homología de grupos pues si la acción de $G$ en $X$ es libre recuperamos los grupos usuales $H_*(G, A)$. Por otra parte, si tenemos un grupo $Q$ actuando sobre $G$ por automorfismos y $A$ es un $G$-módulo trivial tenemos entonces una acción inducida de $Q$ en $C_*(G)\otimes A$, donde $C_*(G)$ denota el complejo barra, y podemos definir los grupos de homología de cadenas invariantes, $H_*^Q(G, A)$, como la homología de $(C_*(G)\otimes A)^Q$. En esta plática daremos la definición y propiedades de una $Q$-representación por permutaciones y sus grupos de homología y veremos cómo esta teoría generaliza las dos teorías anteriores. Usaremos estos grupos de homología para definir una versión relativa de los grupos de homología de cadenas invariantes.