La relación de L-equivalencia de espacios topológicos

Ponente(s): Rodrigo Hidalgo Linares, Oleg Okunev

Definimos el espacio localmente convexo libre (en el sentido de Markov) sobre el espacio topológico $X$ como una pareja $(\delta_{X}, L(X))$ formada por una función inyectiva continua $\delta_{X}\colon X \rightarrow L(X)$ y un espacio localmente convexo $L(X)$, de modo que cada función continua $f\colon X \rightarrow E$, donde $E$ es un espacio localmente convexo, se extiende continuamente a un único operador lineal $\hat{f} \colon L(X) \rightarrow E$ tal que $f = \hat{f}\circ \delta_{X}$. Estos espacios definen una relación de equivalencia en la clase de los espacios topológicos (de Tychonoff): la $L$-equivalencia. Decimos que dos espacios son $L$-equivalentes si sus espacios localmente convexos libres son isomorfos topológicamente. Si bien esta relación parece simple, posee numerosos problemas abiertos, los cuales han tenido poco o nulo avance. En esta ocasión presentamos la posición de la $L$-equivalencia ante sus semejantes, como las relaciones de $A$-equivalencia y $l$-equivalencia que derivan de la construcción de los grupos abelianos topológicos libres y de los espacios de funciones continuas con su topología débil. Además veremos como un concepto básico en ésta área nos brinda de manera natural una ``generalización'' del Teorema de Extensión de Dugundji.