Familias Normales, el Gran Teorema de Picard y algunas de sus consecuencias.

Autor: Gabriel Martínez Ramos
Coautor(es): Dra. Patricia Domínguez Soto
En dinámica compleja, una función trascendente entera es una función analítica $ f:\C \rightarrow \C $, donde $f(\infty)$ no está definida, así $ \infty $ es una singularidad esencial. La $n$-ésima iteración de una función $f$, se define como la composición de ella misma $n$ veces y se denota $f^n =f\circ \cdots \circ f$. La órbita de un punto $z_0 \in \C$ bajo $f$ se define como el conjunto $O(z_0):=\{ f^n (z_0): n\in \mathbb{N} \}$. Una de las claves para comprender el comportamiento bajo iteración de un punto arbitrario del plano complejo yace en la comprensión del conjunto de puntos cuya orbita no converge a una orbita neutral o atrayente. En 1906, Fatou describe en sus notas a este conjunto, el cual hoy se conoce como el conjunto de Julia. Una manera posible de estudiar el conjunto de Julia era directamente vía operaciones, pero las dificultades de este método fueron impresionantes, ya que para $n$ muy grande y un $z$ arbitrario los cálculos para $f^n (z)$ eran abrumadores. Afortunadamente, esto fue resuelto gracias a un joven matemático francés, Paul Montel, quien, durante el periodo baldío en el desarrollo de la la dinámica compleja, la cual seguía las notas de Fatou de 1906, puso los toques finales en su teoría de familias normales. La teoría de Montel sobre familias normales fue muy poderosa porque en las primeras décadas del siglo XX Montel aplicó su teoría a una variedad de tópicos sobre la teoría de las funciones complejas. En este trabajo exponemos la teoría de familias normales y su relación con el Gran Teorema de Picard para funciones trascendentes enteras. Así, como algunas consecuencias y aplicaciones de la misma.