Una conjetura sobre la no-integralidad de una suma binomial

Ponente(s): Daniel Lopez Aguayo, Shanta Laishram, Carl Pomerance y Thotsaphon Thongjunthug

Sea $r$ un número natural y consideremos la función $S_{r}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ dada por $S_{r}(n)=\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{k+r} \binom{n}{k}$. En el 2015 conjeturé que existe un número infinito de enteros $r$ tales que $S_{r}(n)$ no es entero para toda $n \geq 1$ y demostré que $S_{r}(n)$ no es un entero para $r \in \{2,3,4\}$ y para toda $n \geq 1$. En el 2016, en trabajo conjunto con Florian Luca, se demostró que $S_{r}(n)$ no es entero para $r \geq 2$ y toda $n$ con $1 \leq n \leq r-1$. En el 2018, Thotsaphon Thongjunthug publicó un algoritmo que proporciona condiciones suficientes para la no-integralidad de $S_{r}(n)$ y demostró la no-integralidad para $r \in \{7,8,9,10\}$. En esta charla daremos un bosquejo de cómo demostrar que $S_{r}(n)$ es "casi siempre" no-entero en el sentido de que la densidad asintótica de aquellos enteros $n$, con $S_{r}(n)$ entero, decae más rápidamente que cualquier potencia fija de $r^{-1}$ conforme $r$ crece.