Algunos teoremas del tipo Voronovskaya para operadores lineales positivos

Ponente(s): Lázaro Flores De Jesús, Dr. Jorge Bustamante González

Los polinomios de Bernstein constituyen una de las sucesiones de operadores más conocidas para la aproximación de funciones continuas definidas en un intervalo compacto de la recta real. Se conoce que, para cada función $f\in C[0,1]$ \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}||f-B_n(f)||=0. \end{equation} Esta relación muestra que los operadores de Bernstein proporcionan una forma simple de construir polinomios algebraicos para aproximar funciones. Sin embargo, como observó Voronovskaya, estos operadores tienen una limitación. Si la función $f$ tiene segunda derivada continua en un punto $x\in[0,1]$, entonces \begin{equation}\label{limvoro} \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(B_n(f,x)-f(x)\right)=\frac{x(1-x)}{2}f''(x). \end{equation} Cuando una sucesión de operadores lineales y continuos $L_n:C[0,1]\rightarrow C[0,1]$ cumple una propiedad similar a (\ref{limvoro}) se tiene un Teorema del tipo Voronovskaya. En esta investigaci\'on doctoral se pretende obtener estimados de convergencia para fórmulas del tipo Voronovskaya para algunos operadores polinomiales trigonom\'etricos.