Ecuaciones Laplacianas Fraccionarias sin soluciones suaves

Autor: José Villa Morales
El estudio de ecuaciones que involucran al operador Laplaciano fraccionario es importante debido a que, aparte de sus aplicaciones, dicho operador forma un bloque importante en los operadores no locales. Su papel es similar al papel que desempeña el Laplaciano en el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Elípticas. Es decir, es el operador no local más simple que representa las características más importantes de dichas ecuaciones. Mas aún debido a un resultado de Courrege (1965) todo operador no local es suma de un operador local más uno no local con núcleo similar al del Laplaciano fraccionario con cierta medida de compensación. Es conocido que toda solución de la Ecuación de Laplace (función armónica) es suave (de hecho tiene todas sus derivadas). Esta misma propiedad se cumple para la Ecuación de Laplace pero ahora con un operador de difusión el Laplaciano fraccionario. Lamentablemente hay casos elementales que muestran que esto deja de ser cierto si la ecuación ya no es homogénea. En la presente charla introduciremos una familia de ecuaciones Laplacianas fraccionarias que no tienen soluciones suaves. Por ende, se debe descartar dicho espacio como espacio de solución de éstas ecuaciones. Hay que buscar otros espacios como el espacio de funciones tipo Hölder o soluciones en un sentido más débil. La demostración se base en la aproximación de soluciones suaves por funciones armónicas fraccionarias y el método de movimiento de planos.