Cohomología de Q-grupos libres.

Autor: Carlos Alberto Aquino Zárate
Sean $Q$ y$ G$ grupos donde $Q$ está actuando en $G$ por automorfismos, diremos entonces que $G$ es un $Q$-grupo. En esta plática introducimos la categoría de $Q-G$ módulos, la cual resulta ser una categoría abeliana con suficientes proyectivos. Daremos una caracterización de dichos $Q-G$ módulos proyectivos y definiremos la cohomología del $Q$-grupo $G$ con coeficientes en un $Q-G$ módulo arbitrario, $H^{\ast}_{Q}(G,M)=H^{\ast}(Hom_{G}(B(G),M)^{Q})$ donde $B(G)$ es la resolución barra. De esta manera, este invariante generaliza la teoría clásica de cohomología de grupos. Daremos una interpretación de estos grupos de cohomología en dimensiones bajas. Este funtor de cohomología no es un funtor derivado (lo que sí sucede en la teoría clásica), sin embargo, cuando la acción de $Q$ en $G$ es un caso especial de acción semilibre (a este caso especial los llamaremos $Q$-grupos libres), podemos verlo como el funtor derivado del funtor $Hom_{Q-G}(-,M)$ evaluado en el ideal de aumentación $I_{G}$ del grupo G. Concluimos mencionando algunos resultados análogos a la teoría clásica y algunos ejemplos para $Q$-grupos libres.