Dinámica no arquimediana: Un estudio de las propiedades topológicas y algebraicas en $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}_k)$

Ponente(s): Levia Sefira Mendieta Noguez, Luis Manuel Reyes de la Luz (asesor)

La iteración de funciones racionales en la dinámica clásica revela estructuras fractales de gran complejidad. Esta plática explora la transformación radical de este paradigma al transitar hacia un campo no arquimediano algebraicamente cerrado, $\mathbb{C}_k$. En este nuevo entorno, la topología ultramétrica dicta que todo triángulo sea isósceles y que el espacio resulte inherentemente disconexo, desafiando la intuición geométrica habitual. Se presentará la construcción de la recta proyectiva $\mathbb{P}^1(\mathbb{C}_k)$, estableciendo su fundamentación mediante herramientas como los polígonos de Newton, la métrica cordal y el mapa de reducción. Utilizando el concepto de equicontinuidad y el teorema de Hsia-Montel, se formularán los criterios analíticos que permiten bifurcar el espacio en el conjunto de Fatou (estabilidad) y el conjunto de Julia (caos). Finalmente, se abordará el escenario de las funciones con mala reducción geométrica, demostrando cómo la ausencia de buena reducción fragmenta los dominios y exhibiendo isomorfismos dinámicos explícitos con funciones de desplazamiento (shift maps)