La representación mínima y la nilrepresentación mínima no son tan diferentes.

Ponente(s): Eduardo Antonio Torres López, Eduardo Antonio Torres López Ma. Isabel Hernández

Uno de los resultados centrales de la teoría de las álgebras de Lie es el Teorema de Ado. Este nos dice que toda álgebra de Lie se puede expresar en términos de matrices, de manera formal; toda álgebra de Lie tiene una representación fiel. En el año de 1966, Hochschild refinó el Teorema de Ado. Encontró que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre los números complejos tiene una nilrepresentación fiel de dimensión finita. Esto en el caso de las álgebras de Lie nilpotente se traduce a que podemos encajar a las álgebras de Lie dentro del álgebra de las matrices triangulares superiores. De manera natural surge la pregunta: Dada una álgebra de Lie $\mathfrak{g}$, ¿Cuál es la mínima $n$ tal que existe una representación fiel de $\mathfrak{g}$ en $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$? Dicho número $n$ es denotado como $\mu(\mathfrak{g})$. Podemos definir lo análogo para nilrepresentaciones. En esta plática abordaremos el estudio de las representaciones y las nilrepresentaciones de las álgebras de Lie nilpotentes. Presentaremos en que casos son “equivalentes” estos dos conceptos. Y de manera general mostraremos que la dimensión de la representación mínima y la dimensión de la nilrepresentación mínima no difieren tanto.