La conjetura de Auslander-Reiten para álgebras de Artín hereditarias de tipo de representación finita

Ponente(s): Omar Emmanuel Medina Muñoz

La conjetura de Auslander-Reiten establece que un módulo finitamente generado sobre un álgebra de Artín es proyectivo si se anulan todas sus n-extensiones de orden positivo con respecto a si mismo y al álgebra. Aunque permanece abierta en general, constituye un problema central en la teoria de representaciones. En este trabajo se verifica la conjetura para álgebras de Artín hereditarias de tipo de representación finita. En este contexto, la condición de anulación de n-extensiones se reduce al caso de primer orden. Aplicando técnicas homológicas de la teoría de Auslander-Reiten, la condición se traduce en términos de morfismos hacía la traslación de Auslander-Reiten. La estructura del carcaj (quiver) de Auslander-Reiten en tipo finito permite demostrar que todo módulo no proyectivo genera morfismos no triviales hacía su traslación, lo que contradice la hipótesis. Por tanto, todo módulo cumple la condición de proyectividad. Referencias: 1.-M. Auslander, I.Reiten and S.O.Smalø, Representatión Theory of Artín Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36 (Cambridge University Press, Cambridge, 1995) 2.- S.Liu and G.Todorov, Representation Theory of Hereditary Artin Algebras of Finite Representation Type, arXiv: 2506.22987