El funtor K-cero monoidal: una K-teoría para categorías monoidales

Ponente(s): Eduardo León Rodríguez, Frank Patrick Murphy Hernández

¿Qué ocurre si se reemplazan los anillos por monoides en una categoría monoidal arbitraria? En esta sesión se construye un funtor de K-teoría (al que se llama K-cero monoidal) que va de la categoría de monoides de una categoría monoidal hacia la categoría de grupos abelianos y que, al particularizarse a los grupos abelianos, recupera el K-cero clásico de un anillo. El protagonista es el cambio de anillos monoidal. Dado un morfismo entre dos monoides, se muestra cómo la extensión de escalares (construida mediante el producto tensorial relativo de un módulo, presentado como un coigualador) resulta ser adjunta izquierda de la restricción de escalares. Esa única adjunción es la que sostiene toda la construcción: es lo que permite transportar los "haces vectoriales monoidales" (los módulos finitamente generados y proyectivos, en el sentido monoidal) de un monoide a otro y, con ello, volver funtorial a la asignación que a cada monoide le asocia su K-cero monoidal. Se recorre la construcción paso a paso, desde la adjunción libre-olvido hasta la completación de Grothendieck, señalando en el camino dónde la intuición clásica de anillo y de módulo libre se rompe de maneras inesperadas.