Cotas óptimas para sumas de funciones aritméticas

Ponente(s): Harald Helfgott ., Andrés Chirre

Consideremos una funcion aritmética. Esto quiere decir "una function $a:\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$ (o, lo que es básicamente lo mismo, una sucesión $\{a_n\}_{n=1}^\infty$) que resulta interesante en la teoria de numeros" o "una sucesión $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ tal que la serie de Dirichlet $F(s) = \sum_n a_n n^{-s}$ es algo con continuación meromorfa al plano complejo." Nos interesa estimar las sumas $\sum_{n\leq x} a_n$. ¿Cuál es la mejor manera de hacerlo, si solo tenemos informacion sobre un número finito de polos de $F(s)$? Un caso crítico es el de la función de Moebius $a_n = \mu(n)$. En un primer curso de teoria analítica de números, se aprende que acotar $M(x)$ es esencialmente equivalente a estimar el número de primos p hasta un entero dado. Empero, si buscamos cotas explícitas, vemos que hay estimaciones satisfactorias para el número de primos, mientras que probar cotas explícitas para $M(x)$ es un problema sumamente recalcitrante. Mostraremos una manera óptima de resolver el problema general. Como aplicaciones, obtendremos cotas para la función de Mertens mucho más fuertes que aquellas en la literatura, y también, de pasada, mejoraremos las estimaciones sobre el número de numeros primos hasta x en un amplio rango.