Geometría de trayectorias en superficies

Ponente(s): Gil Bor

Una geometría de trayectorias es una familia de curvas no parametrizadas dependiente de dos parámetros sobre una superficie, que satisface cierta condición de no degeneración. Ejemplos notables incluyen: 1. Las rectas en el plano; 2. Los círculos de radio fijo en la 2-esfera; 3. Las elipses con uno de sus focos fijo y eje mayor de longitud fija. Las geometrías de trayectorias fueron ampliamente desarrolladas en el siglo XIX, en el contexto de la clasificación de grupos de simetría de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, especialmente por Sophus Lie y su alumno Arthur Tresse. Este último clasificó aquellas geometrías de trayectorias cuyo grupo de simetría local es de dimensión 3. (Los ejemplos 2 y 3 pertenecen a dicha lista, con grupos de simetría SO(3) y SL(2, ℝ), respectivamente. El grupo de simetría del ejemplo 1 es PGL(3, ℝ), de dimensión 8, la máxima posible.) Este es un tema sumamente profundo y bello, que sigue siendo objeto de investigación activa en la actualidad. En esta plática me concentraré en algunos ejemplos recientes, provenientes de la lista de Tresse, que aparecen de forma inesperada pero natural en el problema de Kepler.