Uniformidades en hiperespacios de conjuntos difusos

Ponente(s): Daniel Roberto Jardón Arcos

Un conjunto difuso en espacio topol\'ogico $X$ es una funci\'on $u:X\to [0,1]$ que semi-continua superiormente. Para $\alpha \in (0,1]$ se define el $\alpha$-nivel de $u$ por $u_\alpha =\{x\in X: u(x)\geq \alpha \}$. El soporte de $u$ es $\overline{\{x\in X: x(x)>0\}}$. Se denota por $\mathcal{F}(X)$ al hiperespacio de todos los conjuntos difusos en $X$ con tales que $u_1\neq \emptyset$ y tienen soporte $u_0$ compacto. A cada subconjunto compacto no vac\'io $A$ de $X$ se asocia de forma \'unica el conjunto difuso $\chi _A$ (funci\'on caracter\'istica), por lo anterior el hiperespacio $K(X)$ es fundamental. Dado un espacio uniforme $(Y,\mathcal{U})$ existen en $\mathcal{F}(Y,\tau _\mathcal{U}))$ distintas uniformidades inducidas por $\mathcal{U}$. Si $f \colon X \to X$ es una funci\'on continua, la extensi\'on de Zadeh's de $f$, denotada por $\widehat{f} \colon \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(X)$, se define por: $\widehat{f}(u)(x)=\sup\{u(z):z \in f^{-1}(x)\}$, s\'i $f^{-1}(x)\neq \emptyset$ ~y~ $\widehat{f}(u)(x)=0$, en otro caso. En este trabajo se estudian algunas propiedades de la extensi\'on de Zadeh respecto a dos uniformidades inducidas en $\mathcal{F}(X)$.