¿Geometría de Poisson?

Ponente(s): José Crispín Ruíz Pantaleón

Como es sabido, cada producto interno dota a un espacio euclidiano (R^n) de una geometría. En particular, el producto escalar/punto es el que da lugar a la geometría usual de estos espacios. Entonces, en esencia, es una forma bilineal (positiva definida), simétrica y no degenerada lo que da pie a una geometría. Desde esta perspectiva, se pueden realizar algunas construcciones para generar "nuevas" geometrías. Una de ellas, esencial en física-matemática, es la llamada geometría simpléctica, que surge al considerar una forma bilineal, antisimétrica y no degenerada en R^n (en general, una 2-forma diferencial cerrada y no degenerada en una variedad diferencial). Una generalización de esta geometría es la denominada geometría de Poisson, la cual resulta de gran relevancia en el estudio de sistemas físicos y que además cuenta con múltiples conexiones con diversas áreas de la matemática. En particular, es la geometría que subyace en la dinámica de los conocidos como sistemas hamiltonianos. En esta charla presentamos cómo emerge la geometría de Poisson, tanto en R^n como en variedades diferenciales. Mostraremos algunas de sus propiedades, alcances y limitaciones, así como algunas aplicaciones en matemáticas, física y análisis de datos.