Del porismo de Poncelet a curvas modulares

Ponente(s): Xitlali Aketzali Puente Jimenez

El porismo de Poncelet afirma que si existe un polígono de n lados inscrito en una cónica C y circunscrito a otra D entonces existen infinitos. En esta charla exploraremos este fenómeno desde una perspectiva algebro-geométrica, destacando su conexión con curvas modulares y estructuras de torsión en curvas elípticas. A partir del criterio de Cayley, se obtienen condiciones algebraicas explícitas para la existencia de dichos polígonos, mediante herramientas computacionales, se estudian los casos para distintos valores de n analizando las curvas Pn ⊂ P^2 que parametrizan estas configuraciones de cónicas tal que el polígono existe. Dichas curvas presentan singularidades que se resuelven mediante transformaciones de Cremona y explosión de puntos. El caso n=5 permite identificar explícitamente la ecuación de una curva elíptica, mientras que n=7 conduce a una curva de género 4 relacionada con la cúbica de Cayley, cuya estructura modular se interpreta a través de una cubierta étale de Cayley, cuya estructura modular se interpreta a través de una cubierta étale y su variedad de Prym asociada. Este enfoque se inspira en el trabajo de Barth y Michel, quienes vinculan el porismo de Poncelet con la curva modular X_{0,0}(n, 2).