Clasificación de extensiones y haces fibrados mediante cohomología de grupos

Ponente(s): Juan José López Martínez, Miguel A. Maldonado

Durante el último siglo la cohomología de grupos ha puesto de manifiesto una fuerte y profunda conexión entre el álgebra y la topología. Para esta charla propondremos dos problemas: uno algebraico, la clasificación de extensiones de grupos de $\mathbb{Z}^2$ por $\mathbb{Z}$, y uno topológico, la construcción y clasificación de haces fibrados sobre el toro con fibra la circunferencia $S^1$. Mostraremos cómo la solución del primer problema implica la solución del segundo, y de qué modo se obtiene al calcular $H^2(\mathbb{Z}^2,\mathbb{Z})$: el segundo grupo de cohomología de $\mathbb{Z}^2$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$. En particular, probamos que este grupo es no trivial construyendo algunas extensiones no triviales y señalamos cómo éstas inducen la existencia de haces fibrados topológicamente distintos.