Un álgebra de retículo para el estudio de la log-concavidad

Ponente(s): César Bautista Ramos, Carlos Guillén Galván, Paulino Gómez Salgado

La log-concavidad, propiedad donde el cuadrado de cada coeficiente de una función generatriz es mayor o igual al producto de sus vecinos, es común en combinatoria. El desafío de demostrarla ha motivado el desarrollo de nuevas herramientas. En esta ponencia presentamos la "radio-dominación parcial", una relación de orden para funciones generatrices con coeficientes no negativos. Demostramos que define una estructura de retículo (lattice) compatible con el producto, la diferenciación y la integración. Este formalismo unifica el estudio de la log-concavidad y sus ultra variantes, permitiendo probar de forma elegante teoremas clásicos, como los de Merlon-Karlin y Walkup, sobre la preservación de esta propiedad bajo el producto. Finalmente, presentamos una conjetura que generaliza estos resultados: el orden de ultra log-concavidad del producto de dos funciones generatrices es la suma de sus órdenes. Exponemos un teorema reciente que la confirma bajo ciertas condiciones, extendiendo la teoría a órdenes no enteros.