Orígenes de desigualdades del tipo Newton

Ponente(s): César Bautista Ramos, Carlos Guillén Galván, Paulino Gómez Salgado

El estudio de las raíces de polinomios univariados, cuya relación con los coeficientes está dada por los polinomios simétricos elementales, es un pilar del álgebra. En 1707, Newton estableció desigualdades cuadráticas para tales polinomios simétricos elementales normalizados. Este resultado se extendió con desigualdades cúbicas (Rosset, 1989) y cuárticas (Niculescu, 2000). Niculescu dudaba que pudieran hallarse desigualdades de orden superior, como las quínticas, debido a la conocida imposibilidad de encontrar fórmulas por radicales para las raíces de los polinomios de grado 5. Esta ponencia refuta esa idea, demostrando cómo obtener desigualdades de Newton quínticas, séxticas y superiores mediante el uso de factorizaciones de polinomios simétricos normalizados, una técnica derivada de un lema de Hardy, Littlewood y Pólya; y la generación de desigualdades a partir de cualquier polinomio simétrico semi-positivo definido, aplicando conceptos de Geometría Algebraica Real (problema 17 de Hilbert, conjuntos semi-algebraicos proyectivos). A estos polinomios generadores les denominamos el "origen" de las desigualdades de tipo Newton. Finalmente, se muestra que estas ideas pueden extenderse a los números complejos.