Simulación de ecuaciones de reacción-difusión: un enfoque precondicionado y adaptativo

Ponente(s): José Alejandro Butanda Mejía

En esta charla, presentaremos métodos numéricos para simular ecuaciones de reacción-difusión. Consideraremos casos sin y con degeneración en el término difusivo, enfocándonos en modelos unidimensionales tipo Allen-Cahn y Fisher-KPP. En el caso no degenerado, mostraremos cómo la dinámica de interfaces puede aproximarse eficazmente mediante un sistema de EDO de dimensión reducida, lo que permite una notable reducción del costo computacional. Para resolver la EDP completa, empleamos un esquema implícito basado en volúmenes finitos. El principal desafío —la creciente rigidez al refinar la malla o modificar parámetros— se aborda con un precondicionamiento tipo Jacobi-Newton (Brenner et al.), que asegura convergencia monótona y reduce las iteraciones de Newton. En el caso degenerado, extendemos este esquema semiimplícito con pasos de tiempo adaptativos regulados por estimadores en la norma infinito y en la energía de Ginzburg-Landau. El precondicionamiento sigue siendo esencial para enfrentar la singularidad inducida por la degeneración. También exploramos un sistema de EDO que reproduzca las soluciones estacionarias de la EDP degenerada. Concluiremos con una comparación de tiempos de cómputo, número de iteraciones y precisión.