Problemas de Sturm Liouville aplicados y sus propiedades espectrales.

Ponente(s): Néstor Fabián Bravo Hernández, Dr. Héctor Andrés Chang-Lara

En esta charla exploraremos operadores diferenciales definidos sobre grafos compactos tipo estrella, compuestos por \(n\) aristas unidas en un nodo central. Nuestro objetivo es doble: caracterizar las condiciones de frontera y acoplamiento que garantizan la auto-adjunticidad del operador, y entender cómo se generaliza la expansión en series de Fourier en este entorno no trivial. Mostraremos que bajo condiciones tipo Kirchhoff —que imponen conservación de flujo— y continuidad en el nodo —que acoplan las funciones—, el operador global \[ L = \bigwedge_{i=1}^n L_i \] resulta ser auto-adjunto en \(L^2(\mathcal{X}_n)\). A partir de esta estructura, construimos soluciones fundamentales que nos permiten invertir el operador y estudiar sus propiedades espectrales. Concluimos demostrando que las funciones propias forman una base ortonormal de \(L^2(\mathcal{X}_n)\), extendiendo elegantemente la teoría clásica a grafos con múltiples ramificaciones. Por último mostramos un teorema que determina por completo el espectro de este tipo de operadores, y las multiplicidades de los valores propios y exploramos sus propiedades.