Un sistema de tipo-KdV en espacios de baja regularidad

Ponente(s): Juan Montealegre Scott

En la conferencia se considerará el problema de valor inicial para el sistema de ecuaciones de Korteweg-de Vries acopladas a través de los efectos dispersivos y los términos no lineales \begin{equation} \left\{\begin{array}{l}w_{t}+\eta _{x}+\eta _{xxx}+\frac{1}{2}\eta \eta _{x}=0\\ \eta _{t}+w_{x}+w_{xxx}+\frac{1}{2}\left( w\eta \right) _{x}=0 \\ w(x,0)=w_{0}(x) \\ \eta (x,0)=\eta _{0}(x)\end{array}\right. \label{1} \end{equation} en donde $w=w(x,t)$ y $\eta =\eta (x,t)$ son funciones reales de las variables $(x,t)\in \mathbb{R}^{2}$, y $w_{0}$ y $\eta _{0}$ son funciones dadas. El sistema en (\ref{1}) modela la propagación de ondas, de pequeña amplitud y longitud de onda larga sobre la superficie de un canal de fondo plano, estas ecuaciones son las más simples de las que capturan los efectos dispersivos y no lineales de la onda. La buena formulación local de (\ref{1}) en los espacios clásicos $H^{s}\times H^{s}$ con $s>3/2$ se demostró por el método de regularización parabólica y los estimados de Bona-Smith. En la conferencia, usando estimados lineales del grupo asociado al problema lineal se mostrará la buena formulación local (\ref{1}) cuando $s>3/4$ y se discutirá el problema global.