El 15-puzzle: Teoría de grupos en tableros nxm.

Ponente(s): Alejandra Esmeralda Gámiz Hernández

El 15-puzzle es un juego de deslizamiento en un tablero de 4x4 con 15 fichas numeradas y un espacio vacío. El objetivo del juego es lograr obtener, mediante movimientos válidos, una configuración ordenada de las fichas, partiendo de una configuración desordenada. Sin embargo, no todas las configuraciones iniciales son resolubles, y para analizar por qué ocurre esto, recurriremos a la Teoría de Grupos. Abordaremos el problema de una forma generalizada para tableros de nxm. La primera parte del análisis se centrará en la estructura algebráica que subyace en las permutaciones de las fichas generadas por los movimientos válidos del juego. Utilizando herramientas de la Teoría de Grupos, en particular del grupo simétrico S_{(nxm)-1}, demostraremos cuáles configuraciones del nxm-puzzle son alcanzables, partiendo de una configuración inicial ordenada y cuáles no lo son. Lo anterior nos permitirá concluir que, haciendo un procedimiento inverso de movimientos, podemos llegar a la configuración ordenada, partiendo de cualquiera de las configuraciones alcanzables; por lo cual diremos que dichas configuraciones son resolubles.