Cuando el álgebra lineal se vuelve análisis: una mirada a los teoremas espectrales

Ponente(s): Roberto Garcia Antonio, Dr. Josué Ramírez Ortega

Uno de los problemas centrales del álgebra lineal es la diagonalización de operadores, es decir, encontrar una base de vectores propios que permita representar un operador como una matriz diagonal. Esta propiedad no solo facilita los cálculos numéricos en aplicaciones, sino que también permite comprender de manera más profunda la acción del operador sobre el espacio. Cuando se pasa al caso de espacios de Hilbert de dimensión infinita, el conjunto de valores propios puede ser vacío. Sin embargo, bajo ciertas condiciones —como en el caso de operadores auto adjuntos y compactos— el operador sí posee valores propios, y es posible obtener una descomposición del espacio en una suma directa que permite que el operador se comporte casi como un operador diagonal. En esta plática presentaremos algunos de los teoremas espectrales clásicos del álgebra lineal y exploraremos cómo, bajo ciertas hipótesis, estos resultados se generalizan al contexto del análisis funcional. Estas generalizaciones permiten comprender varios de los resultados básicos en la teoría de operadores y en la teoría de las álgebras C*.