Regularización de Tikhonov en $L^2(\Omega)$ y una aplicación a la reconstrucción de imágenes digitales

Ponente(s): Omar Muñiz Pérez

Consideremos la ecuación lineal $Au+n=v$, donde $A$ es un operador lineal de $L^2(\Omega)$ en sí mismo, $\Omega$ es un subconjunto abierto y acotado del plano con frontera suave, $n,v \in L^2(\Omega)$ y $u$ es la variable desconocida. Los parámetros de $A$ y $n$ no son conocidos, pero se pueden estimar. El problema consiste en inferir $u$ disponiendo sólo del dato $v$. Sería deseable que este problema estuviera bien planteado en el sentido de Hadamard; es decir, quisiéramos que su solución $u$ existiera, fuera única y dependiera continuamente de los datos iniciales; pero por lo general no es así. Para transformar este problema en un problema bien planteado se suele recurrir a la técnica de regularización de Tikhonov, que básicamente añade una nueva restricción al problema y lo formula como un problema de minimización de un funcional definido en $L^2(\Omega)$. Este problema también se puede formular como una EDP elíptica con condición de frontera de tipo Neumann. En esta charla de divulgación veremos cómo a lo largo del tiempo se ha determinado esta nueva restricción al problema mediante algunos subespacios apropiados de $L^2(\Omega)$. Motivaremos este problema aplicándolo al problema de reconstrucción de imágenes digitales.