Propiedades de los operadores fractales

Ponente(s): Luis Ángel García Pacheco, Daniel Alfonso Santiesteban, José M. Sigarreta Almira

En esta plática se introduce la $(\beta, \alpha)$-derivada fractal de una función $f$ en un punto $t_0$, definida como \[ \dfrac{d^{\beta}f}{dt^{\alpha}}(t_{0}) = \lim_{{t \to t_0}} \frac{f^{\beta}(t) - f^{\beta}(t_0)}{t^{\alpha} - t_0^{\alpha}}, \quad \alpha, \beta > 0 \] siempre que dicho límite exista y sea finito. Por otro lado, se definen los operadores integrales \[ L^{\alpha}_{t_{0}} (f)(t) = \int_{t_{0}}^{t} \alpha |s|^{\alpha - 1} f(s) \, ds, \] \[ K^{\alpha, \beta}_{t_{0}} (f)(t) = \left( \int_{t_{0}}^{t} \alpha |s|^{\alpha - 1} f(s) \, ds \right)^{1/\beta} = \left( L^{\alpha}_{t_{0}} (f)(t) \right)^{1/\beta}, \] que actúan como inversos de la $(\beta, \alpha)$-derivada fractal. Se presentarán las propiedades fundamentales de estos operadores, así como una analogía con los teoremas del cálculo clásico de Newton y Leibniz, destacando las diferencias estructurales y posibles ventajas en contextos específicos. Por último se darán las aplicaciones a ecuaciones diferenciales en el sentido fractal.