Descripción del Espacio de Funciones Poli-analíticas de Orden Infinito mediante la Transformada de Fourier

Ponente(s): Julio Eduardo Enciso Molina, Maribel Loaiza, Egor Maximenko

Sea $\mathcal{SF}(\mathbb{C})$ el espacio poli-analítico de Fock de orden infinito, introducido por Alpay, Colombo, Diki y Sabadini en su artículo de 2022 titulado "Reproducing kernel Hilbert spaces of polyanalytic functions of infinite order". Nuestro objetivo es hacer una descripción de este espacio en términos de la transformada de Fourier. Para este fin, vinculamos $\mathcal{SF}(\mathbb{C})$ con otro espacio de Hilbert de núcleo reproductor $\mathcal{E}(\mathbb{C})$, que corresponde al núcleo \[ K(z,w) = e^{-|z-w|^2}. \] Mostramos que $\mathcal{E}(\mathbb{C})$ se puede expresar como la imagen del espacio $L^2(\mathbb{R}^2, W)$ bajo la transformada de Fourier, donde $W(s,t) = \frac{1}{\pi}e^{\pi^2(s^2+t^2)}$. De este modo construimos una transformación integral isométrica entre el espacio $\mathcal{SF}(\mathbb{C})$ y $L^2(\bR^2)$. Esto nos permite estudiar los operadores de traslación horizontal en estos espacios y el álgebra de von Neumann de los operadores que conmutan con dichas traslaciones. Este es un trabajo realizado en conjunto con la Dra. Maribel Loaiza y el Dr. Egor Maximenko. Esta investigación ha sido parcialmente financiada por el proyecto de SECIHTI, `Ciencia de Frontera' FORDECYT-PRONACES/61517/2020.