Simetrizaciones de Schwarz en variedades de cohomogeneidad uno y aplicaciones

Ponente(s): Jonatán Torres Orozco Román, Oscar Palmas (FC-UNAM-CU) y Juan Carlos Fernández (FC-UNAM-CU)

Las simetrizaciones de Schwarz constituyen una herramienta para reducir asimetrías de conjuntos y funciones. En el espacio euclidiano, este proceso reemplaza conjuntos acotados por conjuntos radialmente simétricos de igual volumen; en el caso de funciones, produce una función radial. Las simetrizaciones resultan especialmente útiles para estudiar diversos problemas y desigualdades geométricas, ya que se mantiene control de gradientes y ciertas normas. En esta plática tratamos variedades Riemannianas que admiten una acción isométrica de cohomogeneidad uno. Veremos cómo la geometría inducida por la acción permite definir simetrizaciones análogas, en este caso, tomando conjuntos dentro de la misma variedad; se reemplazan conjuntos por conjuntos invariantes, y funciones por funciones invariantes. Como aplicaciones, abordaremos un problema isoperimétrico equivariante y daremos una desigualdad de tipo Pólya-Szegö. Finalmente, presentaremos un resultado análogo al teorema de Talenti, que relaciona soluciones de una ecuación de Poisson en un dominio con las soluciones del problema correspondiente tras realizar una simetrización. Este es un trabajo conjunto con Oscar Palmas y Juan Carlos Fernández de la Facultad de Ciencias de la UNAM.