Grupos, árboles y geometría

Ponente(s): Jesús Hernández Hernández

Los grupos son objetos algebraicos muy básicos y casi omnipresentes en las matemáticas. Esto hace que sea difícil poder estudiarlos de forma abstracta, por lo que una forma de estudiarlos es a través de sus acciones. Teniendo en mente que los grafos (y en particular los árboles) pueden, en ciertos sentidos, considerarse como los objetos geométricos más sencillos, el estudio de los grupos a través de sus acciones en los árboles (Teoría de Bass-Serre) permite obtener muchas propiedades algebraicas a través de la traducción de las propiedades de la acción. En esta plática buscamos dar un panorama superficial a esta teoría. Primero introduciremos lo que nos referimos con grafos y árboles, al igual que acciones de grupos en estos. Después, veremos cómo codificar esta acción en grafos de grupos. Posteriormente, veremos como "decodificar" un grafo de grupos para obtener de vuelta la acción; esto a través de grafos de espacios. Con esto veremos el resultado fundamental de la Teoría de Bass-Serre. Finalmente, hablaremos de limitantes de esta teoría así como sus generalizaciones recientes.