El axioma de elección y la existencia de funciones aditivas no lineales

Ponente(s): José De Jesús Sáez Macegoza, Ivan Fernando Vilchis Montalvo, María de Jesús López Toriz

Se presentan condiciones que deben cumplirse en ZF para garantizar la existencia de funciones aditivas no lineales. Recordemos que una función aditiva es una función f:R->R tal que f(x+y)=f(x)+f(y) para cada x, y reales. Algunas condiciones que se deben cumplir para que una función aditiva sea lineal es que sea continua, sea continua en un punto, sea integrable, sea acotada en algún intervalo acotado o que sea monótona. Se conoce que el Axioma de Elección implica que el espacio vectorial R sobre Q tiene base y con una base de R sobre Q se pueden construir funciones aditivas no lineales. Sin embargo, si consideramos únicamente los Axiomas de ZF y la hipótesis de que existen bases para R sobre Q, seguimos teniendo la posibilidad de construir funciones aditivas no lineales. También se exponen otras condiciones que deben cumplirse en ZF para que existan funciones aditivas no lineales. Finalmente, se expone que en ZF, es suficiente suponer la existencia de funciones aditivas no lineales para garantizar la existencia de subconjuntos de R que no son Lesbegue-medibles.