Existencia de ondas viajeras para un modelo Boussinesq de orden superior
Ponente(s): Luis Felipe Patiño Serrano, Ricardo Córdoba Gómez
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\hyphenation{mor-fis-mos u-ni-ta-rio }
\newcommand{\header}{
\vspace{-4cm} \centerline \textsc{\textbf{56 Congreso Nacional de la Sociedad Matem\'atica Mexicana}}
\vskip-8truept \centerline{\textrm{\small Octubre 23-27, 2023, San Luis Potos\'i, M\'exico}}
\vskip4truept\hrule height 1.8pt \vspace{0.1cm}}
\date{ }
\title{\header \textbf{Existencia de ondas viajeras para un modelo Boussinesq de orden superior }\\}
\author{\textsc{Ricardo C\'ordoba\thanks{Universidad de Nari\~no, Pasto - Colombia,
e-mail: {\tt rcordoba@udenar.edu.co}} \hspace*{1cm} \textsc{Luis F. Pati\~no}\thanks{Universidad del Cauca, Popay\'an - Colombia, e-mail: {\tt luisfpat@unicauca.edu.co}}} \\ \rule[2mm]{8cm}{1.0pt}
}
\begin{document}
\maketitle
\vspace{-0,8 cm}
\begin{abstract}
En este trabajo mostramos la existencia de soluciones de onda viajera para la ecuaci\'on Boussinesq de orden superior
\begin{equation}\label{eq1}
u_{tt}=u_{xx}+u_{xxtt}+\mu u_{xxxx}-u_{xxxxtt}+(u^2)_{xx},
\end{equation}
que modela el fen\'omeno de la evoluci\'on de ondas de agua de gran elongaci\'on y peque\~{n}a amplitud en presencia de tensi\'on superficial. Aqu\'i, $\mu \in \mathbb R$ es un par\'ametro asociado con la tensi\'on superficial (ver \cite{Eugene}). Espec\'ificamente probaremos la existencia de soluciones de la forma
\begin{equation*}
u(x,t)=v(x-ct),
\end{equation*}
donde $c$ denota la velocidad de onda. Para tal prop\'osito, seguimos un enfoque variacional y caracterizamos los soluciones de onda viajera como puntos cr\'iticos del funcional $J_c$ definido en el espacio de Sobolev $H^2(\mathbb R)$ por
\begin{equation*}
J_c(v)=I_c(v)-G(v),
\end{equation*}
donde los funcionales $I_c(v)$ y $G(v)$ est\'an definidos por
\begin{align*}
I_c(v) &= \frac{1}{2}\int_{\mathbb R}\Big[(c^{2}-1)v^{2} + (c^{2}-\mu)(v')^{2} +c^{2}(v'')^{2} \Big] dx, \\
G(v) &= \frac{1}{3}\int_{\mathbb R}v^{3} \ dx.
\end{align*}
Aqu\'i, $H^2(\mathbb R)$ es el espacio de Sobolev de orden dos definido con respecto a la norma
\begin{equation*}
\|v\|^2_{H^2}= \int_{\mathbb R}(v^{2}+(v')^{2}+(v'')^{2}) \ dx.
\end{equation*}
Nuestro m\'etodo involucra el Teorema de Paso de Monta\~na.
\vspace{0.3cm}
\textbf{Palabras \& frases claves:} Modelo Boussinesq, Soluciones de Onda Viajera, Teorema de Paso de Monta\~na.
\end{abstract}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Eugene} G. Schneider, C. Eugene, Kawahara dynamics in dispersive media Physica D, 152-
153 (2001), 384-394.
\end{thebibliography}
\end{document}