La construcción de los números R

Ponente(s): Inés Gálvez Solano, Ismael Tule Gutiérrez

La construcción de los R Objetivo: 1. Describir diferentes formas de construir los números reales a partir de los números racionales. 2. Demostrar una forma estándar de construir los números enteros a partir de los números naturales y luego los números racionales a partir de los enteros. Lothar (2014) menciona que “el conjunto de los números reales R se presenta ampliamente como el conjunto (único) que satisface los axiomas para un campo ordenado completo. Si bien las diferentes descripciones axiomáticas de los campos ordenados suelen ser bastante similares, existen varias versiones del axioma de completitud cuya equivalencia no es trivial. Una versión que se utiliza con frecuencia es la propiedad suprema. Establece que cada subconjunto no vacío de los números reales que está acotado arriba tiene un límite superior mínimo en los números reales” (pág. 1). “De los naturales a los enteros: Axiomáticamente, el conjunto de números enteros Z se puede introducir como el anillo ordenado más pequeño. Esto significa que cada anillo ordenado R contiene una copia natural de Z, a saber, el subgrupo aditivo de R generado por 1R. El conjunto N puede considerarse como el subconjunto de enteros no negativos”. (Lothar, 2014, pág. 4). “De los enteros a los racionales: El conjunto de los números racionales, denotados por Q se construirá a partir de Z. Las ideas y métodos utilizados exhibirán muchas similitudes con los de la construcción de Z de N. Por lo tanto, solo daremos las definiciones relevantes y demostraremos las propiedades más importantes del conjunto recién establecido. Axiomáticamente, el conjunto de los números racionales Q se introduce como el campo ordenado más pequeño. Es decir, cada campo ordenado K contiene un subcampo isomorfo a Q. Este subcampo es el creado por 0K y 1K”. (Lothar, 2014, pág. 9). Referencias: Sebastián Krapp, L. (2014). Constructions of the real numbers a set theoretical approach, BE Mathematical Extended Essay, University of Oxford, United Kingdom. Recovered in: https://www.math.uni-konstanz.de/~krapp/research/Constructions_of_the_real_numbers.pdf