Sistema diferencial de orden fraccionario y una aplicación a la eco-epidemiología

Ponente(s): Ilse Dominguez Aleman, Juan Carlos Hernández Gómez Francisco Julián Ariza Hernández

El desarrollo del cálculo fraccionario (derivadas e integrales de orden fraccionario), tiene sus inicios con las contribuciones de Newton, Leibniz, Lacroix, Euler, Riemann, Liouville, Caputo, Grünwald, Letnikov, entre otros. De estos trabajos surgen diferentes formas de abordar y definir la derivada de orden fraccionario, dentro de las más conocidas se encuentran las propuestas por Grünwald-Letnikov (GL), Riemann-Liouville (RL) y Caputo. En los últimos años, el cálculo fraccionario ha tenido un gran desarrollo, debido a que han surgido muchos campos en los que la aplicación de estas han permitido mejorar los ajustes con datos (reales o sintéticos), en la solución de problemas inversos de distintas áreas de la ingeniería, la física, la economía, y en general en las ciencias aplicadas. En este trabajo se presentan dos operadores diferenciales, el primero un operador global que generaliza la derivada de Caputo [1], para la cual se toma una función Kernel general, $F(\chi,q)$ admisible y se presentan resultados generales de la misma, posteriormente se estudia el caso particular para el Kernel propuesto por Caputo y se presentan sus propiedades más importantes; el segundo es un operador local que tiene sus fundamentos en introducir una perturbación a través de una función (Kernel) a la definición de derivada clásica, esto permite introducir una derivada fraccionaria local conformable [2], siguiendo esa misma idea en [3] se propone una nueva definición de la derivada conformable, a través de un Kernel general $T(t,q)$ en la definición clásica de la derivada n-ésima de una función, en un punto $t$. Utilizando estos enfoques se analiza un modelo eco-epidemiológico depredador-presa con presencia de una enfermedad infecciosa en las presas, dicho modelo será abordado desde el enfoque de la derivada generalizada de Caputo $^{C}D^{q}_{F,a}$, a través del Kernel $F(\chi,q)=\Gamma(1-q)\chi^q$ y de la derivada fraccionaria conformable $G_T^q$, con el Kernel $T(t,q)=t^{1-q}$. En ambos casos, se realiza un estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio del modelo y el comportamiento asintótico de sus soluciones [4,5]. Finalmente, se presentan resultados numéricos del sistema (problema directo), y se comparan con los resultados que se obtienen al modelar con ecuaciones diferenciales de orden fraccionario bajo estos dos enfoques y de orden entero. Referencias: [1] Bosch, P., Rodríguez, J. M., & Sigarreta, J. M. (2023). Oscillation results for a nonlinear fractional differential equation. AIMS Mathematics, 8(5), 12486-12505. [2] Khalil, R., Al Horani, M., Yousef, A., & Sababheh, M. (2014). A new definition of fractional derivative. Journal of computational and applied mathematics, 264, 65-70. [3] Fleitas, A., Nápoles, J. E., Rodríguez, J. M., & Sigarreta, J. M. (2021). Note on the generalized conformable derivative. UMA, 62(2), 443-457. [4] Brandibur, O., Garrappa, R., & Kaslik, E. (2021). Stability of systems of fractional-order differential equations with Caputo derivatives. Mathematics, 9(8), 914 [5] Rezazadeh, H., Aminikhah, H., & REFAHI, S. A. (2017). Stability analysis of conformable fractional systems.