Teorema de la curva de Jordan en el plano digital

Ponente(s): Ludim Mizrraim Rendon Contreras, Dra. Aura Lucina Kantún

El plano digital es el conjunto formado por los pares ordenados de números enteros, esto es, $\mathbb{Z}^2=\{(m,n): m,n \in \mathbb{Z}\}$. Aquí podemos definir dos topologías generadas por las 4-vecindades u 8-vecindades de un punto, respectivamente, que nos ayudarán a estudiar las imágenes digitales desde un punto de vista topológico. Cada una de estas topologías tendrá su propia noción de conexidad. En este trabajo nos centraremos en el Teorema de la Curva de Jordan que, para $\mathbb{R}^2$, dice que toda curva cerrada simple en el plano divide a $\mathbb{R}^2$ en exactamente dos componentes conexas. Esta afirmación es fácil de comprender y podríamos caer en la trampa de pensar que se puede traducir de forma inmediata al plano digital. Sin embargo, ilustraremos con ejemplos porqué esto no es cierto. En 1979, A. Rosenfeld probó que este teorema se cumple para las curvas digitales si dotamos a la curva y su complemento con diferentes topologías. Esto tiene importantes aplicaciones en el estudio de conexiones de puntos e ilustraciones blanco-negro y justifica la representación de un conjunto digital por medio de su frontera.