Sobre espacios selectivamente altamente divergentes

Ponente(s): Carlos David Jiménez Flores, Alejandro Ríos Herrejón, Elmer Enrique Tovar Acosta

Decimos que un espacio topológico $X$ es selectivamente altamente divergente (SAD) si para cada sucesión de conjuntos abiertos no vacíos $\{U_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ de $X$, podemos encontrar $x_n \in U_n$ tal que la sucesión $\{x_n\}{n \in \mathbb{N}}$ no tiene subsucesiones convergentes. Investigamos las propiedades topológicas básicas de los espacios SAD y mostraremos que esta clase de espacios es muy variada. Presentaremos un ejemplo de un espacio SAD que tiene una sucesión convergente no trivial y con un conjunto denso sin sucesiones convergentes. Además, demostramos que si $X$ es un espacio regular tal que para todo $x \in X$ se cumple $\psi(x, X) > \omega$, entonces $X_\delta$ (la modificación $G_\delta$ de $X$) es un espacio SAD y, además, si $X$ es homogéneo, entonces $X_\delta$ también es homogéneo. Por último, dado $X$ un espacio de Hausdorff sin puntos aislados, construiremos un nuevo espacio denominado $sX$ tal que $sX$ es un espacio extremadamente disconexo, 0-dimensional y de Hausdorff, SAD con $|X| = |sX|$, $\pi w(X) = \pi w(sX)$ y $c(X) = c(sX)$, donde $\pi w$ y $c$ son las funciones cardinales $\pi$-peso y celularidad, respectivamente.