Grupos de simetría, sus rotaciones y su representación mediante cuaterniones.

Ponente(s): Marco Antonio Gutiérrez Garduño

Sea n un número natural mayor que 2, podemos construir un polígono de n lados con la misma longitud y ángulos iguales, llamados polígonos regulares. De manera similar, podemos preguntarnos si es posible construir un poliedro con n caras iguales y ángulos iguales. La respuesta es que existen solo 5 poliedros regulares, conocidos como sólidos platónicos. Estos sólidos son el tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Todos los sólidos platónicos tienen grupos de simetría. Estos grupos consisten en rotaciones que mantienen el sólido en la misma posición en el espacio. Estas rotaciones se describen mediante un eje de rotación y un angulo, y pueden representarse como matrices cuadradas de orden 3. Estas matrices son ortogonales ya que representan transformaciones isométricas, y tienen determinante igual a 1. El espacio de las matrices ortogonales de orden 3 se denota como O(3), y el subgrupo de estas matrices con determinante igual a 1 se denota como SO(3). Por lo tanto, este grupo representa todas las rotaciones en tres dimensiones, y el grupo de rotaciones de cada sólido platónico es un subgrupo finito de SO(3). Es posible representar rotaciones en 3 dimensiones utilizando cuaterniones. Si consideramos el grupo de los cuaterniones unitarios S^3, es decir, aquellos cuaterniones cuya norma es igual a 1, podemos establecer un homomorfismo dos a uno entre los cuaterniones unitarios y las rotaciones en 3 dimensiones. De esta manera, cualquier rotación en R^3 se puede representar mediante dos cuaterniones unitarios p y -p. Denotemos este homomorfismo como f. Si tomamos la imagen inversa de los subgrupos finitos de SO(3) bajo f, debido a que f es una función dos en uno, esta imagen inversa contendrá el doble de elementos que el grupo finito original, y se llamara grupo binario. Si tomamos el cociente de S^3 por estos subgrupos binarios, obtendremos variedades diferenciables. Estas variedades son importantes en la teoría de singularidades, ya que aparecen como las aureolas de las singularidades kleinianas. En particular, la variedad correspondiente al grupo binario icosaédrico es la famosa esfera homológica de Poincaré.