Polinomios simétricos completos con variables repetidas

Ponente(s): Luis Angel Gonzalez Serrano, Dr. Egor Maximenko

Los polinomios homogéneos completos de grado $m$ en las variables $x_1, \ldots, x_n$ se definen de manera combinatoria como la suma de todos los monomios de grado total $m$ sobre las $n$ variables. Cuando todas las variables $x_1,\ldots,x_n$ son diferentes a pares, estos polinomios se pueden calcular mediante la fórmula eficiente vía progresiones geométricas: \[ \operatorname{h}_m(x_1,\ldots,x_n) =\sum_{j=1}^n \frac{x_j^{m+n-1}}{\prod_{k \neq j}(x_j-x_k)}. \] Sin embargo, esta fórmula no se puede aplicar cuando algunas de las variables se repiten, por ejemplo, cuando se trata de $\operatorname{h}_m(y_1,y_1,y_2,y_2,y_2)$. Nuestros resultados principales son expansiones de $\operatorname{h}_m(y^{[\varkappa]})$ de la siguiente forma: \[ \operatorname{h}_m(y_1^{[\varkappa_1]}, \ldots, y_n^{[\varkappa_n]}) = \sum_{j=1}^n P_{y, \varkappa, j}(m)y_j^m. \] Aquí la notación $y_p^{[\varkappa_p]}$ representa la variable $y_p$ repetida $\varkappa_p$ veces. Los coeficientes $P_{y,\varkappa,j}(m)$ son algunos polinomios de $m$ que dependen de $y_1,\ldots,y_n$ y $\varkappa_1, \ldots, \varkappa_n$ y se calculan de manera explícita. A diferencia de la fórmula combinatoria, esta fórmula es muy eficiente para $m$ grandes, porque el número de sumandos no depende de $m$. Además de esto, relacionamos los polinomios $\operatorname{h}_m(y_1^{[\varkappa_1]}, \ldots, y_n^{[\varkappa_n]})$ con la descomposición de funciones racionales en fracciones simples, con matrices de Vandermonde confluentes y con determinantes de matrices de Toeplitz.