El problema de las membranas elásticas: una aplicación del teorema de representación de Riesz

Un problema interesante en el que convergen el análisis funcional y la investigación de materiales es el de encontrar cuáles son las posiciones de equilibrio que adquiere una membrana elástica bajo la acción de una fuerza F. El caso en el que dicha fuerza es vertical se puede representar mediante un problema variacional en el que se busca cuál es la función de desplazamiento vertical correspondiente a la posición de equilibrio que adquirirá la membrana. En este curso plantearemos un modelo sencillo para este problema y demostraremos, usando el teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert, que bajo condiciones de frontera adecuadas existe una única solución que representa al desplazamiento de esta membrana cuando la misma adquiere una posición de equilibrio.
Para este curso será importante conocer la definición y propiedades básicas de los espacios de Hilbert. Por otro lado, será útil, pero no indispensable, contar con nociones básicas de los espacios de Sobolev.